Maturità 2011: le soluzioni della seconda prova di matematica e delle altre materie

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    Sono tantissimi gli studenti alla prese con la seconda prova dell’esame di Maturità 2011. Tra indiscrezioni e conferme, pare che moltissimi ragazzi siano riusciti a comunicare con il mondo esterno, inviando le tracce delle seconde prove per quasi tutti gli indirizzi di studio. Dopo avervi illustrato la soluzione del compito di Latino che prevedeva una traduzione di Seneca, vi vogliamo proporre le soluzioni della seconda prova di matematica e delle altre materie.

    Seconda prova matematica Questionario 1) Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Qual è la capacità in litri del serbatoio?

    Seconda prova matematica Questionario 2) Si trovi il punto della curva y = RadiceQuadrata(x) più vicino al punto di cordinate (4;0).

    Sia P (x, RadiceQuadrata(x) un punto generico della curva y =RadiceQuadrata(x). Ora bisogna trovare il minimo della distanza fra P e Q che è il dato dato.

    Min(x) f(x) = Min(x) RadiceQuadrata[(x-4)^2 + ((RadiceQuadrata(x) – 0)^2]

    Semplificando i passaggi si ottiene che:

    Min(x) RadiceQuadrata(x^2 -7x + 16)

    Calcolando la derivata prima si ottiene: f’(x) = [2x -7x]/2(RadiceQuadrata(x^2 -7x +16). La derivata prima f’(x) = 0 per x = 7/2

    Seconda prova matematica Questionario 3) Sia R la regione delimitata dalla curva y = x^3 dell’asse x e della retta x = 2 e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all’asse Y. Si calcoli il volume di W.

    Il solido è ottenuto dalla rotazione attorno all’asse della regione che va da 0 a 2 in un lato che ipotizziamo chiamare A sull’asse delle x e da uno che va da 0 a 2 sul lato delle y, che ipotizziamo chiamare B. Il volume è calcolato sviluppando le due funzioni date t quindi PiGreco OA * OB. Si ha dunque 16PiGreco – PiGreco[3/4*8^4/7]. Risolvendo si avrà 16PiGreco – 12PiGreco che fa 4PiGreco.

    Seconda prova matematica Questionario 4) Il numero delle combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero delle combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n.

    La formula per la disposizione di n elementi è la seguente: d(n, k) = n(n-1)(n-k+1)

    Quindi si deve risolvere: n(n-1)(n-2) … e si ha n-3 = 1 di conseguenza con la semplificazione si ottiene che n = 4.

    Seconda prova matematica Questionario 5) Si trovi che l’area della regione delimitata dalla curva y = cos x e dall’asse x da x = 1 a x = radianti.

    Seconda prova matematica Questionario 6) Si calcoli il lim (x che tende ad a) di (tgx – tga)/x – a

    Seconda prova matematica Questionario 7) Si provi che l’equazione x^2011 + 2011x +12 = 0 ha una sola radice compresa fra -1 e 0.

    F(x) = x^2011 + 2011x +12

    Poiché f(x) è continua e derivabile in R si ha che:

    f(-1) = (-1)^2011 + 2011(-1) +12 = -2000

    f(0) = 12

    Calcolo della derivata prima: f’(x)=2011*x^2010 + 2011

    Poiché la derivata è positiva la funzione è crescente sempre.

    Quando F(-1) assume un valore negativo e F(0) uno positivo si ha che f(x) avrà una sola radice fra -1 e 0 essendo sempre crescente.

    Seconda prova matematica Questionario 8 ) In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è cosi spesso citato?

    La quadratura del cerchio è un problema classico della geometrica. Lo scopo della quadratura del cerchio è costruire con un compasso e una riga un quadrato che abbia le stesse caratteristiche ma soprattutto aree di un cerchio dato. Per arrivare alla soluzione sarebbe necessario la costruzione del numero RadiceQuadrata(PiGreco) ma esso non è possibile da trovare con riga e compasso.

    Seconda prova matematica Questionario 9) Si provi che, nello spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici di un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell’ipotenusa.

    Seconda prova matematica Questionario 10) Nella figura a lato, denotati con I, II, e III sono disegnati tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è della funzione derivata f’ e l’altro ancora di f^n. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? Motivare la risposta (Sono presentate tutte le combinazioni di I, II e III in una tabella).

    Dal grafico si nota che la funzione I è crescente quando x è diverso da 0. La sua derivata dovrebbe dunque essere o positiva o nulla. Nessuna delle altre due funzioni, invece, lo sono. Quindi f’’ = I. Da qui si può partire a dire che II è decrescente quando x è minore di zero e crescente per x maggiore di zero. Seguendo questa analisi la sua derivata deve essere f’<0 quando x <0 e viceversa. Dunque f’ = II e f = III. La combinazione esatta è la D! Dove f = III, f’ = II e f’’ = I.

    Seconda prova matematica Soluzione Problema 2 (punto 2.1)

    Dobbiamo trovare due relazioni contenenti i parametri richiesti essendo f(0)=2 si ha: b+3 = 2. Avendo la funzione un massimo nel punto di ascissa x = 4 la condizione da porre è che la derivata prima nel punto di massimo sia uguale a zero.

    Si ha che: f’(x) = ae^(-x/3) + (ax + b)*(-1/3)e^(-x/3)

    Bisogna dare la condizione ora che f’(4) = 0 si ha quindi:

    f’(4) = ae^(-4/3) + (4a+b)(-1/3)e^(-4/3) = 0

    Dalla prima equazione si ottiene b = -1

    Dalla seconda raccogliendo e^(-4/3) si ha:

    e^(-4/3)(a-4/3 a-1/3b)

    Si sostituisce b=-1 e si ottiene a = + 1

    Seconda prova matematica Soluzione Problema 2 (punto 2.2)

    F(x) = (x-1)e(-x/3) + 3

    Intersezioni: asse Y dove si ha f(x) = (x-1)e(-x/3) +3 con x = 0 e y = 2

    Primo punto d’intersezione (0; 2)

    Intersezioni: asse X si calcola il limite per x che tende a – infinito della suddetta funzione e si ha che il limite tende a meno infinito (nessun asintoto). Si calcola il limite di x che tende a + infinito e si ottiene una forma indeterminata. Riscrivendo la funzione e semplificandola si ottiene che: il primo limite = 0 e quindi limite di x che tende a + infinito è 3: asintoto orizzontale y=3.

    Si passa ora allo studio della derivata prima e si ottiene che f’(x) = e(-x/3)(-1/3x + 4/3). Si studia ora il segno e si ottiene che (-1/3x +4/3) >= 0 e x <=4. Vi è quindi un massimo in x = 4.

    Si riprende ora il problema dell’intersezione con l’asse x nonché del segno della funzione. Il limite che tende a – infinito della funzione di x è – infinito, viceversa il limite di x che tende a + infinito della funzione di x è 3. Facendo i dovuti calcoli di sostituzione e ipotizzando alcuni punti come ad esempio f(-2) = -2,84 e f(-1)=0,2 si ottiene che vi è un’unica intersezione della funzione con l’asse X per X[-2,84; 0,2].

    Ultimo passaggio è studiare il segno della derivata seconda che ricordiamo essere f’’(x) = ((-e^(-x/3))/3) * (-x/3 + 7/3). Il segno si ottiene vedendo che per f’’(x)<0 si ha x<7 mentre per f’’(x) >0 si ha x>7. Il punto di flesso è F(7; 6e^(-7/3)+3). Si costruisca ora il grafico.

    Seconda prova ISTITUTO TECNICO INDUSTRIALE (elettronica e telecomunicazioni): ELETTRONICA

    In un sistema automatizzato di riempimento e pesatura vengono impiegati 2 trasduttori. Il primo è un trasduttore ad ultrasuoni ed ed è impiegato per rilevare la posizione di un recipiente in cui deve essere versata una quantità prefissata di materiale. Il secondo è una cella di carico ed ha il compito di misurare il peso totale del contenitore con il materiale affinchè venga riempito con la quantità predefinita. Il trasduttore di posizione ha un’uscita in corrente 4-10 mA:

    - alla distanza minima di 60mm eroga 4mA

    - alla distanza massima di 500mm eroga 10mA

    Il trasduttore di forza è di tipo a ponte resistivo e possiede un’uscita di tipo differenziale.Alimentando il ponte con una tensione di 10V e applicando la forza massima pari a 30 N si ottiene una tensione differenziale di 0.36 V. Occorre valutare la posizione del recipiente con un errore massimo di 5mm e misurare la forza peso con un errore massimo di 0.05N. I segnali provenienti dai due trasduttori devono essere condizionati e convertiti in segnali numerici per essere inviati a un personal computer che gestisce l’impianto. Il candidato, fatte le ipotesi aggiuntive ritenute idonee:

    1. Disegni uno schema a blocchi del sistema di acquisizione, spiegando le varie parti.

    2. Dimensioni i circuiti di condizionamento dei segnali provenienti dai due trasduttori.

    3. Scelga la frequenza di campionamento.

    4. Indichi la risoluzione ed il tipo di convertitore analogico-digitale impiegato.

    5. Proponga il tipo di strumentazione più idonea per collaudare il funzionamento dei circuiti di condizionamento.

    Seconda prova ISTITUTO TECNICO COMMERCIALE (giuridico economico aziendale): ECONOMIA AZIENDALE

    Definizione Reddito esercizio: Il reddito è l’incremento che, in un determinato periodo di tempo, il capitale di un’impresa subisce per effetto della gestione, vale a dire, per effetto del risultato economico conseguito utile o perdita d’esercizio. La forma scalare consente di esporre risultati parziali progressivi, che evidenziano come si è formato il reddito d’esercizio e che indicano il contributo delle varie aree di gestione alla sua formazione:

    1. risultato della gestione caratteristica o tipica

    2. risultato dopo la gestione patrimoniale (gestione accessoria).

    3. risultato dopo la gestione finanziaria

    4. risultato dopo la gestione straordinaria

    5. risultato prima delle imposte

    6. risultato dell’esercizio (risultato della gestione complessiva, al netto delle imposte, ottenuto tenendo conto delle opportunità offerte dalla normativa fiscale).

    Gestione caratteristica

    Comprende i ricavi e i costi della gestione tipica dell’azienda, è l’attività volta a realizzare l’oggetto dell’impresa. In primo luogo, si considerano i ricavi per vendite o prestazioni di servizi, ai quali vanno sottratti i costi di produzione e le spese commerciali, amministrative e generali.

    Gestione non caratteristica

    Rientrano in questa categoria tutti quei fenomeni che non fanno parte (o non sono classificabili) nella “gestione caratteristica”.

    Gestione patrimoniale

    Anche detta gestione accessoria. Rientrano nell’ambito della gestione extra-caratteristica tutti i fenomeni e tutte le operazioni (e quindi gli oneri e i proventi) estranee alla gestione tipica (marginale) ma che si verificano e si svolgono con continuità nel corso dell’esercizio (periodo amministrativo).

    Gestione finanziaria

    È l’attività di gestione volta al reperimento dei mezzi finanziari necessari all’attività d’impresa e all’impiego delle risorse eccedenti. In particolare, la direzione finanziaria deve, attraverso la gestione dei flussi di entrata e di uscita, essere in grado di assicurare la liquidità aziendale evitando una sottocapitalizzazione dell’azienda, ossia evitando un eccessivo indebitamento.

    Gestione straordinaria

    La forma scalare del conto economico consente di distinguere i componenti ordinari del reddito da quelli straordinari che, in quanto tali, sono irripetibili. Il termine straordinario è legato non all’eccezionalità o l’anormalità degli eventi da cui gli stessi derivano, bensì la estraneità della fonte del provente o dell’onere all’attività ordinaria.

    Effetti della crisi economico finaziaria:

    L’improvviso calo della domanda provoca una reazione a catena lungo la struttura operativa e organizzativa dell’azienda che si manifesta secondo la seguente sequenza:

    1) diminuzione degli ordini,

    2) drastica riduzione dei volumi di produzione,

    3) aumento delle scorte,

    4) riduzione delle ore lavorative,

    5) cassa integrazione,

    6) conflitti sindacali,

    7) diminuzione del fatturato,

    8 ritardo degli incassi ,

    9 ) ritardo dei pagamenti ai fornitori,

    10) difficoltà nei rapporti con le banche per ottenere credito che, anzi, sollecitano il rientro delle anticipazioni in essere,

    11) smobilizzo del magazzino con sconti eccezionali e svendite,

    12) peggioramento rapido dell’indice del capitale circolante,

    13) conseguente crisi di liquidità

    14) peggioramento crescente della situazione reddituale per la diminuzione dei ricavi e la persistenza dell’entità dei costi

    fissi, non eliminabili a breve,

    15) crisi di liquidità e redditività negativa si trasformano in dirompente situazione finanziaria.

    Seconda prova Liceo Socio-Psico-Pedagogico

    “L’uomo è come l’oggetto lavorato a mano: ognuno è diverso dall’altro, ognuno ha un proprio spirito creatore, che ne fa un’opera d’arte della natura”. (M. Montessori “La mente del bambino”). Tale affermazione, ricavata da un’opera della Montessori, riassume in una metafora la teoria dello sviluppo del bambino del medico di inizi ‘900. Nel periodo post-natale, il bambino viene definito embrione spirituale il quale esprime la propria energia vitale, il nucleo originario di un disegno ideale di sviluppo originale. E da ciò la metafora dell’uomo come “oggetto lavorato a mano”: ogni uomo non è nato portando con sé solo geni ereditari ma anche un’originalità che sviluppandosi grazie ai rapporti con l’ambiente, lo renderà unico e irripetibile.

    Ogni embrione spirituale si sviluppa grazie a delle “spinte” di nebule, che lo portano ad assorbire selettivamente dall’ambiente ciò a lui indispensabile per la crescita, secondo periodi sensitivi, punti di attività che segnano i ritmi del suo sviluppo, utili nella guida dell’ambiente esterno. L’attività di sviluppo dell’embrione spirituale è regolata da un principio, senza il quale le nebule e i periodi sensitivi sarebbero solo potenzialità: la mente assorbente. Questo principio rende l’apprendimento dell’adulto diverso da quello del bambino poiché in quest’ultimo, l’apprendimento si identifica con l’assorbimento dei dati del mondo esterno secondo una necessità individuale che gli permette un proprio adattamento alla realtà, e la realizzazione della propria personalità.

    È per queste condizioni psichiche che, secondo le tesi della Montessori, si deve favorire il potenziamento del bambino attraverso un’educazione precoce che gli offra gli stimoli e i materiali necessari per il suo sviluppo. La formazione ottimale delle strutture che garantiscono la crescita psichica del bambino (mente assorbente, nebule e periodi sensitivi) può avvenire solo con una libera azione sull’ambiente e questa può essere contrastata solo dalle inibizioni dell’adulto che porta il bambino, privato della libertà di sviluppo naturale, a fuggire nel mondo dell’immaginazione, del gioco, del capriccio e del disordine: è il processo di deviazione. In tale processo il bambino è definito bambino spezzato poiché è diviso tra il desiderio di attività e impossibilità di soddisfarlo.

    Nella società odierna ogni fanciullo che rientri nella fascia d’età che va dai 3 ai 6 anni rientrerebbe nella categoria o meglio, nel fenomeno, del bambino spezzato e per chiunque all’interno di tale società, sarebbe un fenomeno normale; per Maria Montessori invece, fare capricci e provar piacere per una fiaba raccontata è dannoso per lo sviluppo del bambino. Infatti, all’interno della Casa dei bambini, presentata dalla Montessori come un ambiente costruito a misura di bambino e il cui duplice compito è di consentire la normalizzazione e di favorire lo sviluppo naturale e creativo, il bambino ritrova la cosiddetta “normalità” comportandosi in un modo totalmente diverso rispetto a quello prospettato dalla psicologia infantile, ma per la Montessori l’unico vero e giusto: escludendo il gioco e prediligendo l’ordine e il lavoro severo. È in questo senso che per la Montessori la Casa dei bambini viene considerata “clinica didattica” ed è grazie all’ambiente e al materiale adeguato che si trova al suo interno, che i bambini escono dal processo di deviazione.

    Il fondamento del metodo montessoriano risiede quindi nell’ambiente non solo inteso come struttura materiale ma comprendente anche il materiale di sviluppo che permette al bambino di soddisfare il suo bisogno di ordine e lavoro, di sviluppare i sensi e soprattutto di favorire la conquista dell’autonomia, e infine un’educatrice umile, rispettosa del progressivo sviluppo del bambino e rigorosa nella registrazione dei comportamenti che vede manifestarsi.

    Il compito dell’educatrice, coerentemente alla concezione anti-inibitoria, non deve far altro che mostrare l’uso corretto degli strumenti a disposizione dei bambini e successivamente osservare accuratamente ogni singolo comportamento. La casa dei bambini è stata fondata perché l’ambiente dell’adulto non è l’ambiente di vita del bambino e non perché i genitori lavorano e non possono tenere i propri figli. La causa è il comportamento nocivo dell’adulto verso il bambino: come un educatore della scuola montessoriana. È necessario quindi che l’adulto non intervenga in modo direttivo con divieti, suggestioni e imposizioni ma lasci che il bambino si sviluppi correttamente seguendo le linee naturali della propria energia vitale.

    Seconda prova informatica testo

    Il Ministero dell’Ambiente commissiona lo sviluppo di un nuovo Sistema Informativo per censire la fauna e la flora presenti nei vari parchi naturali di ciascuna regione. Le informazioni della fauna da raccogliere riguardano l’ordine di appartenenza (mammiferi, rettili, uccelli, etc…), la specie (scoiattolo, volpe, orso, vipera, falco, aquila, etc…), il numero di esemplari adulti e cuccioli (con distinzione maschio, femmina), lo stato di salute di ogni esemplare. La flora viene distinta in alberi (quescia, faccio, acacia, etc…), arbusti (lavanda, rosmarino, rododendro, etc…) e piante erbacee (fragola di bosco, margherita, primula, etc…) ed è necessario catalogarle memorizzandone anche la stagione di fioritura e altre caratteristiche peculiari.In ciascun parco, un resopnsabile (guardia parco) raccoglie le informazioni attraverso un software installato sul notebook in dotazione; il programma, dopo avere acquisito i dati dalle maschere di immisione, li memorizza in un database.Ciascuna regione, dotata del nuovo Sistema Informativo, deve provvedere alla gestione della raccolta dati dei propri parchi ai fini di produrre ed inviare al ministero dell’ambiente dei report periodici.Il candidato, formulate le opportune ipotesi aggiuntive, realizzi:

    - Una analisi della realtà di riferimento, completa dello schema funzionale dell’architettura proposta, evidenziandone le principali componenti e la tecnologia utilizzata per la trasmissione delle informazioni.

    - Uno schema concettuale ed uno schema logico del data base.

    - La definizione delle relazioni e le seguenti interrogazioni espresse in linguaggio SQL:1) Visualizzare l’elenco di tutti gli esemplari di fauna, suddivisi per specie, presenti nei vari parchi.2) Visualizzare tutti gli esemplari a rischio di estinzione.3) Calcolare e visualizzare il numero di nascite di un certo esemplare nell’arco di un anno di monitoraggio.4) calcolare e visualizzare il numero totale di diverse specie di arbusti presenti in tutti i parchi della regione.5) Visualizzare quante specie diverse di pino sono presenti in ciascun parco6) Calcolare il numero medio dei cuccioli di ciascuna specie presenti in tutti i parchi della regione.7) Visualizzare l’esemplare più anziano di ogni specie presente in un determinato parco.

    Seconda prova Geometri

    IL TERRENO DI UN PARCO PUBBLICO, SITUATO IN ZONA NON SISMICA E DOTATO DI ALCUNI SPAZI PAVIMENTATI,DEVE ESSERE SISTEMATO A TERRAZZE.PER LA REALIZZAZIONE DELLE TERRAZZE DOVRà ESSERE PROGETTATO UN MURO DI SOSTEGNO ( A GRAVITà O IN CEMENTO ARMATO) DI ALTEZZA 5 m.

    il terreno presenta le seguenti caratteristiche:

    - superficie superiore orizzontale

    - fK= angolo di attrito interno del terreno = 30°

    - ?t = peso volumico del terreno = 16 kN/m3

    - st,amm = tensione ammessibile sul terreno di formazione = 0,2 N/mm2

    il candidato, partendo dall’ipotesi semplificata dell’assenza di attrito terra-muro e dopo aver prefissato,a sua scelta, gli altri dati eventualmente occorrenti, proceda alla progettazione e verifica di stabilità dell’opera,ipotizzando che sul piano di campagna,alla quota più elevata,insista un sovraccarico costituito da una aliquotapermanente qg pari a 6 kN/m2 ed una variabile qq pari a 5 kN/m2 ( sovraccarico totale: q= qg +qq = 11 kN/m2)

    il candidato procederà alla rappresentazione grafica della soluzione proposta in scala liberamente scelta.

    infine, redigerà una relazione sui motivi,delle scelte operate e sui criteri adottati nella progettazione ed effettuerà il computo metrico dei materiali occorrenti per la costruzione del muro, nell’ipotesi che il fronte della terra da sostenere abbia una lunghezza di 20 m.

    Seconda Prova Linguistico francese

    Tema su Fukushima e le centrali nucleari mentre analisi del testo una delle tre tracce e brano tratto da Le Rocher de Tanios